Aus meinem Archiv: Swing-by

Dieser Beitrag aus der ersten Version meines Web-Projekts war bei manchen Schülern und Studenten beliebt, deshalb wärme ich ihn hier noch einmal auf. Er erklärt ein wichtiges Raumflug-Manöver. Nach der allgemeinverständlichen Beschreibung des Swing-by gebe ich ein Berechnungsbeispiel für das Manöver einer Raumsonde am Jupiter.

Beim Swing-by-Manöver nutzt ein Raumflugkörper die Schwerkraft und Bahngeschwindigkeit eines Planeten, um seine Flugrichtung zu ändern sowie seine Geschwindigkeit zu erhöhen oder zu verringern. Das Verfahren wird auch Fly-by, Gravity-assist und Schwerkraftumlenkung genannt. Solche Manöver sind an den massereichen Planeten besonders wirkungsvoll. Allerdings können zum Beispiel auch künstliche Erdsatelliten ihre Umlaufbahn relativ energiesparend ändern, wenn sie die Schwerkraft des Mondes ausnutzen.

Swing-by am Jupiter. Grafik: Michael Müller

Swing-by am Jupiter. Grafik: Michael Müller

Swing-by (Fly-by) im Beispiel

Start einer Sonde aus dem Erdorbit mit Ziel Saturn. Die Planeten umkreisen die Sonne entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Sonde beschleunigt durch die Gravitation des Jupiter. Ohne dieses Manöver wäre die Sonde der gestrichelten Ellipsenbahn gefolgt. Das Umlenken des Flugkörpers lässt sich mit einem elastischen Stoß vergleichen: Je nach den Bedingungen des Vorbeiflugs überträgt der Planet einen kleinen Teil seiner Bewegungsenergie auf den Flugkörper oder umgekehrt. Wegen der riesigen Masse des Planeten kann dessen Geschwindigkeitsänderung vernachlässigt werden.

Viele interplanetare Missionen werden mit heutigen Antriebstechniken erst durch Swing-by-Manöver möglich. Denn dadurch verkürzen sich die Flugzeiten und es wird weniger Treibstoffmasse benötigt, so dass größere Nutzlast transportiert werden kann. Bei gleichem Energieaufwand lässt sich beispielsweise der Flug einer Sonde zum Uranus um etwa 11 Jahre verkürzen, wenn sich die Sonde am Jupiter Schwung per Swing-by-Manöver holt. Das machte unter anderem die Sonde Voyager 2. Sie startete am 20.08.1977 und schwang sich an den großen Planeten unseres Sonnensystems vorbei. Dank Swing-by konnte die Sonde auf Fluchtgeschwindigkeit beschleunigen und hat inzwischen unser Planetensystem verlassen. Pro Jahr legt sie etwa die dreifache Entfernung Erde-Sonne zurück. Das sind pro Stunde mehr als 50.000 Kilometer.

Maximale Beschleunigung (links)und maximale Abbremsung (rechts) beim Swing-by ergeben sich, wenn die Geschwindigkeit des Flugkörpers nach dem Manöver parallel bzw. antiparallel zur Flugrichtung des Planeten (blau) ist.

Maximale Beschleunigung (links) und maximale Abbremsung (rechts) beim Swing-by. Grafik: Michael Müller

Maximale Beschleunigung (links) und maximale Abbremsung (rechts) beim Swing-by. Grafik: Michael Müller

Swing-by-Manöver der Sonde Voyager 2

  • Start 20.08.1977
  • Jupiter 09.07.1979
  • Saturn 25.08.1981
  • Uranus 24.01.1986
  • Neptun 25.08.1989

Swing-by am Beispiel Jupiter

Unsere Raumsonde soll aus dem Erdorbit starten. Eine elliptische Bahn soll sie zum Jupiter führen. Dort soll unsere Sonde per Swing-by beschleunigt auf den Weg zum Saturn einschwenken. Wir betrachten den Flug physikalisch mit vereinfachenden Annahmen.

Geometrie des Swing-by. Im planetenfesten Koordinatensystem folgt die Sonde einer Hyperbelbahn. Die dargestellten Winkel und Geschwindigkeitsvektoren werden im Haupttext erläutert. Grafik: Michael Müller

Geometrie des Swing-by. Im planetenfesten Koordinatensystem folgt die Sonde einer Hyperbelbahn. Die dargestellten Winkel und Geschwindigkeitsvektoren werden im Haupttext erläutert. Grafik: Michael Müller

Die Wirkung des Jupiter auf die Bahn unseres Raumflugkörpers lässt sich unter folgenden Voraussetzungen vereinfacht berechnen:

V1: Solange auf der Flugbahn die Schwerkraft der Sonne gegenüber der Schwerkraft des Planeten überwiegt, wird dessen Wirkung auf den Flugkörper vernachlässigt.

V2: Wenn der Flugkörper nahe genug am Planeten ist, wird dessen Schwerkraft die der Sonne übersteigen. In dieser Einfluss-Sphäre des Planeten wird die Schwerkraft der Sonne vernachlässigt.

V3: Durch die Begegnung mit dem Planeten wird ein Teil der Bewegungsenergie des Planeten auf unsere Sonde übertragen. Da ihre Masse im Vergleich zur Planetenmasse verschwindend klein ist, wird der Planet praktisch nicht beeinflusst.

V4: Außerhalb der Einfluss-Sphäre wird die Flugbahn in dem Koordinatensystem betrachtet, in dessen Ursprung die Sonne ruht (heliozentrisch). Je mehr sich unsere Sonde dem Jupiter nähert, desto stärker wird sie von ihm angezogen und auf seiner Bahn um die Sonne mitgezogen. Vereinfachend wird der Einfluss Jupiters folgendermaßen berücksichtigt: Sobald die Sonde in die Einfluss-Sphäre eindringt, wird in das Koordinatensystem umgeschaltet, in dessen Ursprung der Planet ruht (plantenefest), das sich also mit Jupiter mitbewegt. Beim Verlassen der Einfluss-Sphäre wird auf das heliozentrische System zurückgeschaltet, so dass wir die Geschwindigkeit unserer Sonde relativ zur Sonne erhalten.

Nutzt man numerische Methoden, kann man auf diese Vereinfachungen verzichten. Sie ermöglichen jedoch brauchbare Abschätzungen und machen die physikalischen Zusammenhänge klarer.

1. Start aus dem Erdorbit

Die Sonde startet aus dem Erdorbit in eine elliptische Bahn, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Die Ellipsenbahn soll bis zur Saturnbahn reichen und der Startzeitpunkt wird so gewählt, dass ein Swing-by am Jupiter möglich ist.

Einschussgeschwindigkeit in Ellipsenbahn: Vstart=√(GMs(2/Rse-1/a))=40 km/s

a=(Rss-Rse)/2: große Halbachse der Ellipse. Da die Sonde bereits die Bahngeschwindigkeit Ve der Erde + ihre Geschwindigkeit im Erdorbit (7,6 km/s in 500 km Höhe) besitzt, muss ihr nur noch die fehlende Differenz mitgegeben werden. Allerdings muss die Erdanziehung ausgeglichen werden. Dem Flugkörper muss daher zusätzlich die Fluchtgeschwindigkeit zum Entweichen aus dem Erdorbit mitgeteilt werden. Das sind 10,7 km/s.

2. Eintrittswinkel am Punkt e der Einfluss-Sphäre

Geometrie des Swing-by. Grafik: Michael Müller

Geometrie des Swing-by. Grafik: Michael Müller

Geschwindigkeit Vse der Sonde am Punkt e: Abschätzend berechnen wir hierfür die Geschwindigkeit auf der Ellipsenbahn im Jupiterabstand Rsj von der Sonne: Vse=√(GMs(2/Rsj-1/a))=13 km/s

Winkel α zwischen Flugbahn und Jupiterbahn: Bahndrehimpuls der Sonde beim Start = Bahndrehimpuls in Höhe Jupiterbahn, Vstart Rse = Vse cosα Rsj (Vse cosα = Projektion von Vse auf Tangente der Jupiterbahn). Daraus folgt cosα=0,5863 und α=54°.

3. Umschalten ins planetenfeste Koordinatensystem

Da Mj wesentlich größer ist als m, kann die Rückstoßenergie auf Jupiter vernachlässigt werden und der Geschwindigkeitsbetrag der Sonde im planetenfesten Koordinatensystem ist konstant U, die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich.

Im Punkt e ist die Geschwindigkeit der Sonde im planetenfesten Koordinatensystem Use=Vse-Vj (vektoriell). Daraus folgt Use=√(Vse²+Vj²-2VseVj cosα), Use=12 km/s.

Kinetische Energie: E=½mU².

Bahndrehimpuls: L=mUb, b ist der Abstand zwischen Jupiter und einlaufender Asymptote der Flugbahn.

4. In der Hyperbel am Jupiter vorbei

Bahngleichung im Gravitationsfeld

Die antriebslose Bahn eines Körpers mit Masse m im Schwerefeld eines Planeten mit Masse M ist allgemein gegeben durch die Gleichung

r(θ)=k/(1 + ε cosθ ).

r=Abstand zum Planetenzentrum
θ=Bahnwinkel
k=L²/Gm²M (Drehimpulskonstante)
L=Bahndrehimpuls des Körpers
G=Gravitationskonstante
ε=√(1+(2EL²/G²M²m³)) (Exzentrizität)
E=kinetische Energie des Körpers

Der Bahntyp wird durch ε festgelegt:
ε=0 -> Kreis
0 < ε < 1 -> Ellipse
ε=1 -> Parabel
ε > 1 -> Hyperbel

Antriebslose Bahn der Sonde im Schwerefeld des Jupiter (siehe Kasten rechts):

r(θ)=k/(1 + ε cosθ).

Mit den obigen Werten und einer Sondenmasse von 500 kg folgt: ε=1,28. (Die Bahn ist demanch eine Hyperbel.)

Der Streuparameter b wird durch den Startzeitpunkt festgelegt. Er muss so groß sein, dass der Minimalabstand r(θ=0) der Sonde zum Jupiter größer ist als der Jupiterradius Rj. Wir setzen b=10Rj. Test: r(θ=0)=3,5Rj.

Wir berechnen θs: Wenn r gegen Unendlich geht, nähert sich die Verbindungsgerade Jupiter-Sonde der durch Jupiter führenden, parallelverschobenen auslaufenden Bahn-Asymptote an. Dann wird cos(θ)=cos(180°-θs). Mit diesen speziellen Werten für r und cos(θ) lässt sich aus der Bahngleichung θs berechnen: cos(180°-θs)=-1/ε, θs=38,6°.

Damit wird der Umlenkwinkel θu=180°-2θs=102,8°.

5. Austritt aus der Einfluss-Sphäre

Die Geschwindigkeit Vsa (sonnenfestes Koordinatensystem) der Sonde im Punkt a beim Austritt aus der Einfluss-Sphäre ist Vsa=Usa+Vj (vektoriell). Daher ist Vsa=√(U²+Vj²+2UVj cosβ2), β2 ist der Winkel zwischen Usa und Vj im Punkt a. Den erhalten wir aus dem Winkel β1 zwischen Use und Vj im Punkt e und dem Umlenkwinkel θu: β2=β1-θu.

Da Vse=Use+Vj (vektoriell), ist Vse=√(U²+Vj²+UVj cosβ1). Damit folgt cosβ1=-0,4955, β1=120°, β2=17° und die Geschwindigkeit der Sonde Vsa im sonnenfesten Koordinatensystem: Vsa=25 km/s.

6. Geschwindigkeitsgewinn

Geschwindigkeitsgewinn durch Swing-by am Jupiter: Vsa-Vse=12 km/s.

Link

Voyager-Homepage der Nasa
http://voyager.jpl.nasa.gov

2 thoughts on “Aus meinem Archiv: Swing-by

  1. Hallo, ich versteh nicht wie man den Einflugwinkel bestimmen kann.

    “Winkel α zwischen Flugbahn und Jupiterbahn: Bahndrehimpuls der Sonde beim Start = Bahndrehimpuls in Höhe Jupiterbahn, Vstart Rse = Vse cosα Rsj (Vse cosα = Projektion von Vse auf Tangente der Jupiterbahn). Daraus folgt cosα=0,5863 und α=54°.”

    Könnten sie das genauer erklären?
    Vielen Dank!

    • Zur Berechnung des Bahndrehimpulses der Sonde im Jupiterabstand zur Sonne brauchen wir den Geschwindigkeitsanteil der Sonde senkrecht zu ihrem Bahnvektor. Bei der Begegnung mit dem Jupiter ist der Bahnvektor der Sonde fast gleich dem Bahnvektor des Jupiter. Dessen Geschwindigkeitsvektor steht nahezu senkrecht auf seinem Bahnvektor (nahezu Kreisbahn) und somit nahezu senkrecht auf dem Bahnvektor der Sonde. Den Geschwindigkeitsanteil der Sonde senkrecht zu ihrem Bahnvektor erhalten wir daher, wenn wir ihren Geschwindigkeisvektor auf den Einheitsvektor in Richtung der Jupitergeschwindigkeit projizieren (Vse cosα). Wenn wir diesen Zusammenhang in der Gleichung für die Drehimpulserhaltung nutzen, können wir daraus α berechnen.

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